Time Series Moving Average Method Pdf

6.2 Umzugsdurchschnitte ma 40 elecsales, order 5 41 In der zweiten Spalte dieser Tabelle wird ein gleitender Durchschnitt der Ordnung 5 angezeigt, der eine Schätzung des Trendzyklus liefert. Der erste Wert in dieser Spalte ist der Durchschnitt der ersten fünf Beobachtungen (1989-1993) der zweite Wert in der 5-MA-Spalte ist der Durchschnitt der Werte 1990-1994 und so weiter. Jeder Wert in der 5-MA-Säule ist der Durchschnitt der Beobachtungen in der Fünfjahresperiode, die auf dem entsprechenden Jahr zentriert sind. Es gibt keine Werte für die ersten zwei Jahre oder die letzten zwei Jahre, weil wir nicht zwei Beobachtungen auf beiden Seiten haben. In der obigen Formel enthält Spalte 5-MA die Werte von Hut mit k2. Um zu sehen, wie die Trendzyklusschätzung aussieht, zeichnen wir sie mit den Originaldaten in Abbildung 6.7 zusammen. Plot 40 elecsales, main quotResidential Elektrizitätsverkäufe, ylab quotGWhquot. Xlab quotYearquot 41 Zeilen 40 ma 40 elecsales, 5 41. col quotredquot 41 Beachten Sie, wie der Trend (in Rot) glatter ist als die Originaldaten und erfasst die Hauptbewegung der Zeitreihe ohne all die kleinen Schwankungen. Die gleitende Durchschnittsmethode erlaubt keine Schätzungen von T, wobei t nahe den Enden der Reihe liegt, daher erstreckt sich die rote Linie nicht auf die Kanten des Graphen auf beiden Seiten. Später werden wir anspruchsvollere Methoden der Trendzyklusschätzung einsetzen, die Schätzungen in der Nähe der Endpunkte zulassen. Die Reihenfolge des gleitenden Durchschnitts bestimmt die Glätte der Trendzyklusschätzung. Im Allgemeinen bedeutet eine größere Ordnung eine glattere Kurve. Die folgende Grafik zeigt die Auswirkung der Änderung der Reihenfolge des gleitenden Durchschnitts für die Wohnungsdaten der Verkaufsdaten. Einfache gleitende Mittelwerte wie diese sind meist von ungerader Ordnung (zB 3, 5, 7 usw.). Das ist also symmetrisch: In einem gleitenden Durchschnitt der Ordnung m2k1 gibt es k frühere Beobachtungen, k spätere Beobachtungen und die mittlere Beobachtung Die gemittelt werden. Aber wenn m war sogar, wäre es nicht mehr symmetrisch. Verschieben von Durchschnittswerten der gleitenden Mittelwerte Es ist möglich, einen gleitenden Durchschnitt auf einen gleitenden Durchschnitt anzuwenden. Ein Grund dafür ist es, einen gleichmäßigen gleitenden Durchschnitt symmetrisch zu machen. Zum Beispiel könnten wir einen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 4 nehmen und dann einen anderen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 2 auf die Ergebnisse anwenden. In Tabelle 6.2 wurde dies für die ersten Jahre der australischen vierteljährlichen Bierproduktionsdaten durchgeführt. Bier2 lt-fenster 40 ausbeer, start 1992 41 ma4 ltmma 40 bier2, bestell 4. centre FALSE 41 ma2x4 ltmma 40 bier2, bestell 4. zentrum TRUE 41 Die notation 2times4-MA in der letzten Spalte bedeutet ein 4-MA Gefolgt von einem 2-MA. Die Werte in der letzten Spalte werden durch einen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 2 der Werte in der vorherigen Spalte erhalten. Zum Beispiel sind die ersten beiden Werte in der 4-MA-Säule 451,2 (443410420532) 4 und 448,8 (410420532433) 4. Der erste Wert in der Spalte 2times4-MA ist der Durchschnitt dieser beiden: 450,0 (451,2448,8) 2. Wenn ein 2-MA einem gleitenden Durchschnitt der geraden Ordnung folgt (wie z. B. 4), wird er als zentrierter gleitender Durchschnitt von Ordnung 4 bezeichnet. Dies liegt daran, dass die Ergebnisse nun symmetrisch sind. Um zu sehen, dass dies der Fall ist, können wir die 2times4-MA wie folgt schreiben: begin Hut amp frac Bigfrac (y y y y) frac (y y y y) Großer Verstärker frac y frac14y frac14y frac14y frac18y. Ende Es ist jetzt ein gewichteter Durchschnitt von Beobachtungen, aber es ist symmetrisch. Auch andere Kombinationen von gleitenden Durchschnitten sind möglich. Zum Beispiel wird oft ein 3times3-MA verwendet und besteht aus einem gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3, gefolgt von einem anderen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3. Im Allgemeinen sollte eine gerade Ordnung MA von einer geraden Ordnung MA folgen, um sie symmetrisch zu machen. In ähnlicher Weise sollte eine ungerade Ordnung MA von einer ungeraden Ordnung MA folgen. Schätzung des Trendzyklus mit saisonalen Daten Die häufigste Verwendung von zentrierten gleitenden Durchschnitten ist die Schätzung des Trendzyklus aus saisonalen Daten. Betrachten Sie die 2times4-MA: Hut frac y frac14y frac14y frac14y frac18y. Bei der Anwendung auf vierteljährliche Daten wird jedes Viertel des Jahres gleichgewichtig, da die ersten und letzten Bedingungen für das gleiche Quartal in aufeinanderfolgenden Jahren gelten. Folglich wird die saisonale Variation gemittelt und die resultierenden Werte von Hut t haben wenig oder keine saisonale Variation übrig. Ein ähnlicher Effekt würde mit einem 2 x 8-MA oder einem 2 x 12-MA erhalten. Im Allgemeinen entspricht ein 2 x m-MA einem gewichteten gleitenden Durchschnitt der Ordnung m1 mit allen Beobachtungen, die das Gewicht 1m mit Ausnahme der ersten und letzten Begriffe, die Gewichte 1 (2m) nehmen, Wenn also die saisonale Periode gleich und von der Ordnung m ist, benutze ein 2 mal m-MA, um den Trendzyklus abzuschätzen. Wenn die Saisonperiode ungerade und der Ordnung m ist, verwenden Sie einen m-MA, um den Trendzyklus abzuschätzen. Insbesondere kann ein 2 x 12-MA verwendet werden, um den Trendzyklus der monatlichen Daten abzuschätzen und ein 7-MA kann verwendet werden, um den Trendzyklus der täglichen Daten abzuschätzen. Andere Entscheidungen für den Auftrag der MA werden in der Regel dazu führen, dass Trend-Zyklus-Schätzungen durch die Saisonalität in den Daten verunreinigt werden. Beispiel 6.2 Herstellung elektrischer Geräte Abbildung 6.9 zeigt eine 2-mal 12-MA, die auf den Index der elektronischen Ausrüstung angewendet wird. Beachten Sie, dass die glatte Linie keine Saisonalität zeigt, ist es fast das gleiche wie der Trendzyklus, der in Abbildung 6.2 gezeigt wird, der mit einer viel anspruchsvolleren Methode geschätzt wurde, als im Durchschnitt zu fahren. Jede andere Wahl für die Reihenfolge des gleitenden Durchschnitts (außer 24, 36, etc.) hätte zu einer glatten Linie geführt, die einige saisonale Schwankungen zeigt. Plot 40 elecequip, ylab quotNeu bestellt indexquot. Col quotgrayquot, main quotElektrische Geräteherstellung (Eurozone) 41 Zeilen 40 ma 40 elecequip, Auftrag 12 41. col quotredquot 41 Gewichtete Bewegungsdurchschnitte Kombinationen von gleitenden Durchschnitten führen zu gewichteten gleitenden Durchschnitten. Zum Beispiel entspricht der oben diskutierte 2x4-MA einem gewichteten 5-MA mit Gewichten, die durch frac, frac, frac, frac, frac gegeben sind. Im allgemeinen kann ein gewichteter m-MA als Hut t sum k aj y geschrieben werden, wobei k (m-1) 2 und die Gewichte durch a, Punkte, ak gegeben sind. Es ist wichtig, dass die Gewichte alle zu einem summieren und dass sie symmetrisch sind, so dass aj a. Die einfache m-MA ist ein Spezialfall, bei dem alle Gewichte gleich 1m sind. Ein großer Vorteil der gewichteten gleitenden Durchschnitte ist, dass sie eine glattere Schätzung des Trendzyklus ergeben. Anstelle von Beobachtungen, die die Berechnung mit vollem Gewicht betreten und verlassen, werden ihre Gewichte langsam erhöht und dann langsam verringert, was zu einer glatteren Kurve führt. Einige spezifische Sätze von Gewichten sind weit verbreitet. Einige davon sind in Tabelle 6.3 angegeben. In der Praxis wird der gleitende Durchschnitt eine gute Schätzung des Mittelwerts der Zeitreihen liefern, wenn der Mittelwert konstant oder langsam verändert wird. Im Falle eines konstanten Mittels wird der größte Wert von m die besten Schätzungen des zugrunde liegenden Mittels geben. Eine längere Beobachtungsperiode wird die Effekte der Variabilität ausgleichen. Der Zweck der Bereitstellung eines kleineren m ist es, die Prognose auf eine Änderung des zugrunde liegenden Prozesses zu reagieren. Zur Veranschaulichung schlagen wir einen Datensatz vor, der Änderungen des zugrunde liegenden Mittels der Zeitreihen beinhaltet. Die Figur zeigt die Zeitreihen, die für die Illustration verwendet wurden, zusammen mit der mittleren Nachfrage, aus der die Serie erzeugt wurde. Der Mittelwert beginnt als Konstante bei 10. Beginnend um die Zeit 21 erhöht er sich in jeder Periode um eine Einheit, bis er zum Zeitpunkt 30 den Wert von 20 erreicht. Dann wird er wieder konstant. Die Daten werden durch Addition des Mittelwertes, eines zufälligen Rauschens aus einer Normalverteilung mit Nullmittelwert und Standardabweichung simuliert. 3. Die Ergebnisse der Simulation werden auf die nächste ganze Zahl gerundet. Die Tabelle zeigt die simulierten Beobachtungen für das Beispiel. Wenn wir den Tisch benutzen, müssen wir uns daran erinnern, dass zu irgendeiner Zeit nur die bisherigen Daten bekannt sind. Die Schätzungen des Modellparameters, für drei verschiedene Werte von m werden zusammen mit dem Mittelwert der Zeitreihen in der folgenden Abbildung dargestellt. Die Figur zeigt die gleitende durchschnittliche Schätzung des Mittelwertes zu jeder Zeit und nicht die Prognose. Die Prognosen würden die gleitenden Durchschnittskurven nach Perioden nach rechts verschieben. Aus der Figur ergibt sich sofort eine Schlussfolgerung. Für alle drei Schätzungen liegt der gleitende Durchschnitt hinter dem linearen Trend zurück, wobei die Verzögerung mit m zunimmt. Die Verzögerung ist der Abstand zwischen dem Modell und der Schätzung in der Zeitdimension. Wegen der Verzögerung unterschätzt der gleitende Durchschnitt die Beobachtungen, wenn der Mittelwert zunimmt. Die Vorspannung des Schätzers ist die Differenz zu einer bestimmten Zeit im Mittelwert des Modells und der durch den gleitenden Durchschnitt vorhergesagte Mittelwert. Die Vorspannung, wenn der Mittelwert zunimmt, ist negativ. Für ein abnehmendes Mittel ist die Vorspannung positiv. Die Verzögerung in der Zeit und die Vorspannung, die in der Schätzung eingeführt werden, sind Funktionen von m. Je größer der Wert von m. Je größer die Größe der Verzögerung und der Vorspannung ist. Für eine stetig wachsende Serie mit Trend a. Die Werte der Verzögerung und der Vorspannung des Schätzers des Mittels sind in den nachstehenden Gleichungen angegeben. Die Beispielkurven stimmen nicht mit diesen Gleichungen überein, weil das Beispielmodell nicht kontinuierlich zunimmt, sondern es beginnt als Konstante, ändert sich zu einem Trend und wird dann wieder konstant. Auch die Beispielkurven sind vom Lärm betroffen. Die gleitende durchschnittliche Prognose der Perioden in die Zukunft wird durch die Verschiebung der Kurven nach rechts dargestellt. Die Verzögerung und die Bias steigen proportional an. Die nachfolgenden Gleichungen zeigen die Verzögerung und die Vorspannung einer Prognoseperiode in die Zukunft im Vergleich zu den Modellparametern. Wiederum sind diese Formeln für eine Zeitreihe mit einem konstanten linearen Trend. Wir sollten uns über dieses Ergebnis nicht wundern. Der gleitende durchschnittliche Schätzer beruht auf der Annahme eines konstanten Mittels, und das Beispiel hat einen linearen Trend im Mittel während eines Teils des Untersuchungszeitraums. Da Echtzeit-Serien den Annahmen eines Modells nur selten gehorchen, sollten wir auf solche Ergebnisse vorbereitet sein. Wir können auch aus der Figur schließen, dass die Variabilität des Rauschens die größte Wirkung für kleinere m hat. Die Schätzung ist viel volatiler für den gleitenden Durchschnitt von 5 als der gleitende Durchschnitt von 20. Wir haben die widersprüchlichen Wünsche, m zu erhöhen, um den Effekt der Variabilität aufgrund des Rauschens zu reduzieren und m zu reduzieren, um die Prognose besser auf Veränderungen zu reagieren Im gemein Der Fehler ist die Differenz zwischen den tatsächlichen Daten und dem prognostizierten Wert. Ist die Zeitreihe wirklich ein konstanter Wert, so ist der erwartete Wert des Fehlers Null und die Varianz des Fehlers besteht aus einem Begriff, der eine Funktion und ein zweiter Term ist, der die Varianz des Rauschens ist. Der erste Term ist die Varianz des Mittelwertes, der mit einer Stichprobe von m Beobachtungen geschätzt wird, vorausgesetzt, die Daten stammen aus einer Population mit einem konstanten Mittelwert. Dieser Begriff wird minimiert, indem man m so groß wie möglich macht. Eine große m macht die Prognose nicht mehr auf eine Veränderung der zugrunde liegenden Zeitreihen. Um die Prognose auf Veränderungen zu reagieren, wollen wir m so klein wie möglich (1), aber das erhöht die Fehlerabweichung. Die praktische Vorhersage erfordert einen Zwischenwert. Vorhersage mit Excel Das Prognose-Add-In implementiert die gleitenden durchschnittlichen Formeln. Das folgende Beispiel zeigt die Analyse, die durch das Add-In für die Beispieldaten in Spalte B bereitgestellt wird. Die ersten 10 Beobachtungen sind indiziert -9 bis 0. Im Vergleich zur obigen Tabelle werden die Periodenindizes um -10 verschoben. Die ersten zehn Beobachtungen liefern die Startwerte für die Schätzung und werden verwendet, um den gleitenden Durchschnitt für die Periode 0 zu berechnen. Die MA (10) - Spalte (C) zeigt die berechneten Bewegungsdurchschnitte. Der gleitende Mittelwert m ist in Zelle C3. Die Fore (1) Spalte (D) zeigt eine Prognose für einen Zeitraum in die Zukunft. Das Prognoseintervall befindet sich in Zelle D3. Wenn das Prognoseintervall auf eine größere Zahl geändert wird, werden die Zahlen in der Spalte Fore nach unten verschoben. Die Err (1) Spalte (E) zeigt den Unterschied zwischen Beobachtung und Prognose. Zum Beispiel ist die Beobachtung zum Zeitpunkt 1 gleich 6. Der prognostizierte Wert aus dem gleitenden Durchschnitt zum Zeitpunkt 0 beträgt 11,1. Der Fehler ist dann -5.1. Die Standardabweichung und die mittlere Durchschnittsabweichung (MAD) werden in den Zellen E6 bzw. E7 berechnet. 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